Nas Universidades medievais, o ensino era baseado nas sete artes liberais e dividido em duas fases:
Napier
foi um filósofo natural, astrólogo e
teólogo escocês.Napier é mais conhecido por ter criado os logaritmos neperianos, de base 1/e, também incorretamente chamados de logaritmos naturais, de base e, que se relacionam com aqueles por
onde ln x é o logaritmo natural e NapLog(x) é o logaritmo neperiano.
Seu livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, de 1614, continha não apenas uma explicação teórica dos logaritmos e tabelas de logaritmos, mas também, uma excelente discussão sobre trigonometria esférica. Esse trabalho propiciou avanços científicos na Astronomia, na Física e até na Astrologia. Tycho Brahe foi um dos seus primeiros utilizadores, como vimos na aula As Contribuições de Galileu e Newton. A contribuição dos logaritmos para a Revolução Científica foi importante pois simplificou os cálculos manuais, transformando multiplicações em somas, dispensando tabuadas.
Também ficou famoso por popularizar o ponto decimal e pelo dispositivo de cálculo que ficou conhecido como ossos de Napier
Consistiam em um conjunto de bastões quadrangulares de madeira, com tabelas de multiplicação gravadas nas faces laterais. Após a justaposição dos bastões corretos, o resultado da multiplicação se fazia por uma simples leitura. Note-se, porém, que, embora eles não fossem baseados nos logaritmos, sua evolução levou às réguas de cálculo utilizadas por décadas até o aparecimento das calculadoras eletrônicas.
Fermat foi um advogado e
matemático francês.Funcionário público, em 1652 foi promovido a Juiz Supremo na Corte Criminal Soberana do Parlamento de Toulouse.
Denominado o 'Príncipe dos amadores', Fermat se ocupava da Matemática apenas como lazer.
Apesar disso, foi considerado um dos maiores matemáticos franceses do século, juntamente com Descartes.
Fluente em línguas tais como italiano, espanhol, basco, latim e grego clássico, Fermat seguiu o costume de sua época de compor restaurações conjecturais de textos sobreviventes à destruição da Biblioteca de Alexandria, já mencionada na aula História da Epistemologia.
Um deles teria
sido o De Locis Planis
(Lugares geométricos das curvas planas)
de Apolônio de Pérgamo,
em que este quase
cria a geometria analítica. Infelizmente, o resultado deste trabalho, embora circulasse em forma de manuscrito desde 1636, só foi publicado póstumamente como Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (Introdução aos lugares geométricos de curvas planas e sólidas), em 1679, 43 anos após a publicação de La Géometrie de Descartes, em que este descreve, num contexto filosófico e não matemático, o sistema de eixos, hoje conhecidos como o sistema de coordenadas cartesiano (de Cartesius, forma latina de seu nome, derivada de sua famíla ser fabricante de mapas e cartas náuticas), como vimos na aula As Contribuições de Galileu e Newton. Por mérito, deveriam ser chamadas de coordenadas Fermatianas.
Essa construção levou à Geometria Analítica.
Afável, mas
reservado,
divulgava suas descobertas por
correspondência com o padre matemático Mersenne,
que, na ausência de periódicos
científicos,
tornou-se ele mesmo um centro
de divulgação, mantendo e repassando
correspondência com os
maiores cientistas da época, tais como Descartes, Galileu, Pascal
e Torricelli,
o que, afinal, às vezes causava disputas de
precedência nas descobertas.Dessa troca de correspondências, acabou envolvido em ácidas polêmicas com o melindroso Descartes. Uma vez, Descartes o desafiou para encontrar a tangente à curva, hoje conhecida como folium de Descartes,
cujo gráfico é (para a=1)
um problema que o próprio Descartes não sabia resolver e, por isso, tinha certeza que Fermat não conseguiria também. Para seu desespero, Fermat facilmente encontrou a tangente, graças a um método para determinação de máximos, mínimos e tangentes às diversas curvas, que ele desenvolveu a partir de suas pesquisas com lugares geométricos, e que era equivalente a diferenciação.
Na verdade, Newton declarou que suas próprias idéias iniciais sobre o cálculo vieram diretamente da "maneira de Fermat de traçar tangentes".
Em 1657, Fermat demonstrou a Lei da Refração que fornece o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar de um meio para outro com índice de refração diferente:
Ibn Sahl, matemático, físico e ótico persa, já havia derivado essa lei em seu livro Sobre espelhos e lentes incendiários, publicado em 984.
Snell, astrônomo e
matemático
holandês redescobriu essa lei em 1621 mas nunca a publicou.
Descartes
incluiu uma derivação dessa lei em seu Discours
de la
méthode, em 1637, usando argumentos
heurísticos de conservação de
momentum, havendo quem sustente que ele
'cozinhou' essa derivação a partir do trabalho de
Snell. Por
esse motivo, na França, essa lei é conhecida como
Lei de
Descartes, em outros países como Lei de
Snell,
enquanto no Brasil, referimos a Lei de Snell-Descartes.Fermat rejeitou a derivação de Descartes e chegou à mesma fórmula baseando-se apenas no seu Princípio do Menor Tempo, que generalizava o Princípio de Menor Percurso de Herão de Alexandria (60 d.C.), e foi transformado no Princípio da Mínima Ação, na Mecânica, em 1744, por Maupertuis. Considera-se que aquele foi o primeiro princípio variacional enunciado na Física desde o princípio de Herão.
Segundo esse princípio, a trajetória seguida por um raio luminoso de um ponto A para um ponto B é tal que o tempo decorrido nesse percurso é mínimo. Isto quer dizer que, dentre todos os caminhos possíveis do ponto A ao ponto B, a Natureza 'escolhe' aquele em que o tempo decorrido é o menor deles.
A figura abaixo demostra como, no caso de uma reflexão, o caminho no qual o ângulo de reflexão é igual ao de incidência, 'escolhido' pela Natureza, é justamente aquele minimiza o percurso.
Fermat manteve também correspondência com Pascal (vide adiante), que lhe propôs problemas sobre jogos de azar, o que levou a que, juntos, determinassem as regras essenciais da probabilidade e lançassem os fundamentos da Teoria da Probabilidade.
No entanto, Fermat tratava essas questões apenas como desafios a serem resolvidos, tendo sempre a Teoria dos Números como foco de interesse, como veremos a seguir.
Inspirado
pela
leitura de uma tradução latina, de 1621, da Aritmetica
de Diofanto
de Alexandria, Fermat enveredou num estudo da Teoria dos Números,
especialmente
sobre os números primos.Dentre os vários teoremas que descobriu, o assim chamado Último Teorema de Fermat, inspirado nas equações diofantinas, é, certamente, o mais famoso.
De fato, é uma extensão a potências mais altas do bem conhecido Teorema de Pitágoras
Seu enunciado é
Não há solução com x, y, z inteiros positivos e n inteiro, n>2 para
Segundo a lenda, escreveu, ao lado do enunciado desse problema, às margens de seu exemplar de Aritmetica, como era seu costume:
"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."
Fermat, em geral, não deixou provas de seus vários teoremas, alguns dos quais, só foram provados muito tempo depois. O pequeno teorema de Fermat, por exemplo, só foi demonstrado por Euler em 1736. Outras conjeturas, tais como a de que "todos os números na forma hoje conhecida como números de Fermat são primos", provaram ser falsas.
Aquela nota sugeria haver uma demonstração elementar do teorema e, portanto, desde então, praticamente todos os grandes expoentes da Matemática (incluindo os grandes Euler e Gauss), pelos três séculos seguintes, tentaram demonstrar ou desprovar esse teorema, sendo ele, por isso, até incluído no Livro Guinness dos Recordes, como o problema mais difícil de Matemática.
Em 1906, Paul Wolfskehl, um industrial apreciador de matemática, constituiu um prêmio de 100.000 marcos alemães para quem o demonstrasse.
Além de milhares de amadores com pretensas provas de nível escolar, muitos matemáticos ao longo do tempo conseguiram provas parciais, para expoentes específicos.
Dois casos particulares interessantes são
e
O Último Teorema de Pitágoras entrou para a cultura popular e já foi mencionado em inúmeras obras literárias, filmes, canções, etc.
Naturalmente, com o aparecimento dos computadores, milhares de expoentes foram testados. Em 1994 o teorema já tinha sido verificado para todos os expoentes abaixo de quatro milhões. Mas isso, é claro, ainda não era a prova desejada.
Só foi demonstrado em 1995, por Andrew Wiles, não com uma "demonstração verdadeiramente maravilhosa" e simples, como Fermat alegava possuir, mas envolvendo ferramentas matemáticas indisponíveis à época, tais como curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas. Por isso, acredita-se que, na verdade, ou Fermat não tinha nenhuma demonstração ou, se a tinha, não era correta.
Além do prestígio, Wiles recebeu, também, o prêmio instituído por Wolfskehl, embora bastante reduzido, devido à hiperinflação alemã da 2a. Guerra Mundial.
Como um bônus, várias ferramentas e técnicas matemáticas foram desenvolvidas, como subproduto desse esforço multissecular pela demonstração.
Veja, também, esta página:
vídeos
sobre o Último Teorema de Fermat
Pascal foi um
matemático, filósofo
natural, filósofo moralista e teólogo
francês.Aos 16 anos, Pascal enunciou uma generalização do teorema de Pappus que ficou conhecido como Teorema de Pascal.
Pascal contribuiu para a criação de novos ramos da Matemática, tais como a Geometria Projetiva, a Estatística e a Análise Combinatória, estes com Fermat, como vimos acima.
É bem conhecido seu estudo sobre o triângulo aritmético, formado por binômios de Newton, atribuído a Omar Khayyám, matemático e poeta persa do séc. XI, a Yang Hui, matemático chinês do séc. XIII, mas também conhecido como Triângulo de Tartaglia e, naturalmente, também, Triângulo de Pascal.
Esse triângulo tem inúmeras propriedades interessantes, relacionados a coeficientes binomiais, números primos, números figurados, números de Fibonacci, ao fractal conhecido como Triângulo de Sierpisnski, etc.
Em Física, contribuiu à Mecânica dos Fluidos, esclarecendo os conceitos de pressão e vácuo ampliando o trabalho de Torricelli, tendo aperfeiçoado seu barômetro. Estabeleceu o chamado Princípio de Pascal, segundo o qual,
qualquer alteração de pressão produzida num líquido em equilíbrio transmite-se igualmente a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente que o contém.
É ele que garante o funcionamento de elevadores hidráulicos, como os dos postos de gasolina, e dos freios dos carros.
Com 19 anos, criou a primeira calculadora mecânica que se conhece, a que chamou de La pascaline, segundo consta, "para aliviar o trabalho do seu pai como um agente fiscal".
Em sua homenagem, a unidade do Sistema International de unidades para a pressão foi denominada Pascal, valendo um Newton por metro quadrado.
Após uma visão divina, abandonou as ciências para se dedicar à Teologia, tendo suas ideias influenciado os ingleses Charles e John Wesley, fundadores da Igreja Metodista. Envolveu-se em disputas com os jesuítas e fez uma defesa do Cristianismo. É célebre sua frase
"O coração tem suas razões, que a própria razão desconhece"
Desta época, também, é o argumento calculista conhecido como Aposta de Pascal, de que mesmo que não se possa provar a existência de Deus, uma pessoa racional deveria agir como se acreditasse em Deus, pois, agindo assim, o ganho seria grande e a perda pequena. O argumento se expressa como:
Na verdade, esse argumento incorre em várias falácias, dentre elas, a da falsa dicotomia, a restrignir as opções entre acreditar ou não no Deus cristão.
Apesar disso, esse argumento é considerado um precursor do Utilitarismo.
Leibniz
foi um filósofo, matemático, diplomata e
bibliotecário alemão.Entrou na Universidade de Leipzig aos 14 anos, obteve seu bacharelado dois anos depois e o grau de mestre mais dois anos depois.
Em 1666, publicou seu primeiro livro, Ars Combinatoria (Sobre a Arte da Combinação), parte de sua tese, mas a Universidade recusou-se a lhe conceder o grau de doutor, provavelmente por ser muito jovem. Então, matriculou-se na Universidade Altdorf, na qual conseguiu o doutorado.
Recusando uma posição de professor na Universidade, tornou-se um 'faz-tudo' para as casas de Brunswick e de Hanover
Quando encontrou com Huygens em Paris, reconheceu que seus conhecimentos Matemática e Física eram fragmentáres e iniciou um programa de estudo autodidata, tendo Huygens como mentor, que rapidamente o capacitou a contribuir a esses dois campos.
Leibniz acreditava que os símbolos eram fundamentais para o entendimento humano e atribuía muita importância à notação.
Com isso, introduziu os símbolos ∫ para a integral e d para o diferencial.
Leibniz utilizou o cálculo pela primeira vez, no final de 1675, para calcular a área sob uma função y=f(x).
No final de 1676, Leibniz visita Londres e Newton, que estava, então, empregando os fluxões. Anos depois, este acontecimento dará margem a acusações, nunca provadas, de que ele teria plagiado o trabalho de Newton na invenção do Cálculo.
Leibniz inventou o sistema binário de numeração, uma versão primitiva da lógica matemática, a noção geral de função, o uso de matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, entre outras contribuuições.
Na Física, Leibniz introduziu o conceito de vis viva, (força viva),
onde m é a massa do corpo e v é a sua velocidade, que depois se transformou na energia cinética, com os trabalhos de Navier, Coriolis e Poncelet
quantidade conservada, como Helmholtz demonstrou em 1847. Neste, Leibniz também foi acusado de plágio por Newton de sua conservação de quantitas motus (quantidade de movimento), hoje mais comumente denominada momento linear:
Afinal se descobriu que estas duas quantidades se conservam independentemente.
Leibniz era ligado à postura filosófica do Otimismo. Ele concluiu que, se Deus é onipotente e onisciente, o mundo que ele criou deve ser “o melhor dos mundos possíveis”, pensamento que foi ridicularizado por Voltaire em seu conto Cândido, ou O Otimismo.
Dentre os vários dispositivos que Leibniz inventou, o mais famoso é a sua máquina de calcular, a qual lhe valeu seu ingresso na Royal Society.
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