Buffer

Física Relatividade
Tesseract
o cubo em 4 dimensões

Talvez você já tenha topado algum dia com um tesseract, o cubo em quatro dimensões, sem dar por isso. Não conseguimos ver em 4D mas, por um processo construtivo, conseguimos ter uma boa idéia dele.

Comecemos pelo ponto. Os matemáticos dizem que ele é um objeto de dimensão 0.

Se deslocarmos o ponto em uma dimensão, por exemplo, para a direita, obtemos um segmento de reta.

cubo 0 dimensões

Deslocando esse segmento de reta em uma 2ª dimensão, perpendicular àquela, por exemplo, para cima, obtemos um quadrado.

cubo dimensão 1

Deslocando esse quadrado em uma 3ª dimensão, perpendicular àquelas, por exemplo, para trás, obtemos um cubo 'comum'. No entanto, na tela do seu computador ou numa folha de papel, não há como desenhar 'para trás' da folha de papel. Os artistas florentinos do quatrocento desenvolveram a técnica da perspectiva, segundo a qual a 3ª direção é desenhada inclinada, por exemplo, a um ângulo de 45º. Com isso, todas as faces quadradas, exceto a 'da frente' e a 'de trás' serão representadas 'deformadas' como paralelogramos.

cubo 3 dimensões

Finalmente, deslocando esse cubo em uma 4ª dimensão, perpendicular às anteriores, obtemos o cubo de 4 dimensões, isto é o tesseract. Como não sabemos representar essa 4ª dimensão, costuma-se representá-la 'para dentro' do cubo 'exterior'.

cubo 4 dimensões

Como estará projetado num espaço de dimensão menor do que 4, todas as suas faces cúbicas, exceto a 'de fora' e a 'de dentro', serão vistas deformadas, como troncos de pirâmide.

Veja aqui o vídeo O Tesseract, em rotação. Imagine cubo de três dimensões, por exemplo um dado, em rotação: cada vez que uma face vem 'para a frente', ela deixa de estar deformada por efeito da perspectiva e aparece como um quadrado. Da mesma forma, neste vídeo, cada vez que uma face do tesseract vem 'para a frente', ela aparece como um cubo, o 'cubo de fora'.


Agora, uma analogia para entender melhor o tesseract.

Primeiro, considere um cubo 'comum', em 3 dimensões.

cubo em 3 dimensões

Um cubo tem 6 faces, sendo cada uma um quadrado. No entanto, devido a estar desenhado em uma superfície de 2 dimensões, todas as faces, exceto a 'da frente' e a 'de trás' aparecem deformadas, como paralelogramos.

cubo faces quadrados

As faces adjacentes unem-se em 12 arestas, que são segmentos de reta.

cubo arestas segmentos de reta

As arestas encontram-se, três a três, nos 8 vértices, que são pontos.

cubo vértices pontos

Os desenvolvimentos do cubo no plano e do tesseract no espaço de 3 dimensões são como nas figuras abaixo.

tesseract cubo desenvolvimento

O cubo em 4 dimensões dimensão menor. E que a aresta, um segmento de reta, da mesma forma, pode ser pensada como um cubo em 1 dimensão, 2 dimensões menor, enquanto o vértice, um ponto, é um cubo em 0 dimensão, 3 dimensões menor.

Resumindo, o cubo de 3 dimensões terá

  • 6 faces, que serão cubos de 1 dimensão menor, isto é, cubos de 2 dimensões, ou quadrados, que se encontrarão em
  • 12 arestas, que serão cubos de 2 dimensões menor, isto é, cubos de 1 dimensão, ou segmentos de reta, que se encontrarão em
  • 8 vértices, que serão cubos de 3 dimensões menor, isto é, cubos de 0 dimensão, ou pontos.

Analogamente, o cubo de 4 dimensões terá

  • 8 faces, que serão cubos de 1 dimensão menor, isto é, cubos de 3 dimensões que se encontrarão em
  • 24 arestas, que serão cubos de 2 dimensões menor, isto é, cubos de 2 dimensões, ou quadrados, que se encontrarão em
  • 32 vértices, que serão cubos de 3 dimensões menor, isto é, cubos de 1 dimensão, ou segmentos de reta.

Como estará projetado num espaço de dimensão menor do que 4, todas as suas faces, exceto as da frente e de trás, serão vistas deformadas. Como não conseguimos representar bem a 4ª dimensão, geralmente representamos o cubo que é a face da frente como por fora e o que é a face de trás como por dentro, como no desenho abaixo. Os cubos que são as outras faces aparecem deformados, como dito, como troncos de pirâmide.

O tesseract (desdobrado) apareceu, na arte, por exemplo, na obra ‘Corpus Hypercubus’ (1954) de Salvador Dali.

Corpus Hypercubus-Salvador Dali

É, também, imprescindível mencionar o conto "E ele construiu uma casa torta" (1941) de Robert A. Heinlein, disponível na coletânea A Sonda do Tempo - As Ciências na Ficção Científica, de Arthur C. Clarke. Neste, um arquiteto constrói uma casa de oito cômodos com o formato da figura abaixo. 

tesseract - E ele construiu uma casa torta

Mas um dia ocorre um terremoto e ... acontece o inesperado. Idéia que aparece no filme canadense de ficção científica Cube (Cubo) (1997) de Vicenzo Natali.

tesseract filme Cubo

Finalmente, observe que, se o cubo não for transparente, e o olharmos bem de frente, só veremos a face da frente, como um quadrado.

cubo 3D de frente

Analogamente, se o tesseract não for transparente, e o olharmos bem 'de frente' com relação à 4ª dimensão, só veremos a face 'da frente', como um cubo 'comum'.

tesseract 4D de frente

Conclusões:

  1. na próxima vez que vir uma figura como essa aí acima, em vez de responder, por hábito, que é 'um cubo', inclua também a possibilidade de ser 'um tesseract visto de frente'. Aliás, veja também Realidade, percepção e convicção.
  2. talvez você já tenha topado algum dia com um tesseract de verdade, mas, tendo-o olhado 'de frente' e só visto a face 'da frente', pensou que era apenas um cubo 'comum'.

Veja de novo o vídeo O Tesseract, em rotação.


Veja também esta página:

vídeo 'Ilusão do Cubo Irreal'vídeo Ilusão do Cubo Irreal
Incrível vídeo de ilusão de óptica de um cubo irreal.

Veja aqui minha aula sobre A Crise da Física no inicio do século XX.


Voltar a Física Relatividade.


Citar esta página:
dos SANTOS, Renato P. . In Física Interessante. 4 Aug. 2014. Disponível em: <>. Acesso em: .

Voltar ao começo desta página

Voltar à página principal de Física Interessante


e-books Grátis


View Renato P. dos Santos's profile on LinkedIn

Renato P. dos Santos


Física Interessante no Google+



CSS válido!